Os axiomas da aritmética
(Aposento Borgia do Palácio do Vaticano - Roma)
Os seguintes axiomas são tudo o que se necessita como base da estrutura elaborada da aritmética:
1.
Para quaisquer números m e n
m + n = n + m e mn = nm
2.
Para quaisquer números m, n e k
(m + n) + k = m + (n + k) e (mn)k = m(nk)
3.
Para quaisquer números m, n e k
m(n + k) = mn + mk
4.
Existe um número 0 que
possui a propriedade de quepara qualquer número n
n + 0 = n
5.
Existe o número 1 que tem a
propriedade de que paraqualquer número n
n x 1 = n
6.
Para cada número n,
existe outro número k tal que
n + k = 0
7.
Para quaisquer números m, n e k
se k ≠ 0 e kn = km, então m = n
A partir desses axiomas outras regras podem
ser demonstradas. Por exemplo, aplicando-se rigorosamente os axiomas e
presumindo-se nada mais, nós podemos provar rigorosamente a regra aparentemente
óbvia de que
se m + k = n + k, então m = n
Para começar podemos declarar que
m + k = n + k
Então, pelo axioma 6, façamos l ser
um número tal que k
+ l = 0, assim,
(m + k) + l = (n + k) + l
Então, pelo axioma 2,
m + (k + l) = n + (k + l)
Tendo-se em mente que k + l =
0, nós sabemos que
m + 0 = n + 0
E aplicando o axioma 4 nós podemos
finalmente declarar o que nos propusemos a demonstrar:
m = n
Fonte:
O último teorema de Fermat, Simon Singh; tradução de Jorge Luiz Calife
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